Pomparău, Constantin (2023), Ce este ipoteza Riemann și de ce nu poate fi demonstrată, Cunoașterea Științifică, 3:1, 91-114, DOI: 10.58679/CS24191, https://www.cunoasterea.ro/ce-este-ipoteza-riemann-si-de-ce-nu-poate-fi-demonstrata/

 

What is the Riemann hypothesis and why it cannot be proved

Abstract

This will explain the solution to the problem of the Riemann hypothesis as it was officially described¹ by E. Bombieri, from the Clay Mathematical Institute and provide a realistic argumentation for it.

The goal is to clarify the mathematical theoretical context of the problem and to give a correct answer to the problem raised by Riemann, from this new perspective.

Until now, there have only been unsuccessful attempts to demonstrate the correctness of the hypothesis, but the same premises have been used to solve a problem that actually has a different interpretation.

The result is one of the natural consequences of a larger personal interdisciplinary study2 that includes the role of mathematics in the formalized expression of reality.

A theoretical approach was used that better clarifies the involved mathematical formalism.

Solving the problem, because it is not a demonstration of the hypothesis, has a major impact on the elementary mathematical concepts that are currently being used, by defining them more precisely. At the same time, it shows that the Riemann hypothesis does not have implications in the study of prime numbers, but of sub-Euclidean domains. The impact on the understanding of physics in general and on quantum physics in particular is also important.

Keywords: Riemann hypothesis, sub-Euclidean loci, prime numbers, calculus

Rezumat

Prin aceasta se va explica soluţionarea problemei ipotezei Riemann aşa cum a fost ea oficial descrisă¹ de E. Bombieri, de la Institutul Matematic Clay şi furnizarea unei argumentaţii realiste pentru aceasta.

Scopul este de a lămuri contextul teoretic matematic al problemei şi de a da un răspuns corect la problema ridicată de Riemann, din această nouă perspectivă.

Până acum nu au fost decât încercări nereuşite de a demonstra corectitudinea ipotezei, dar s-au folosit aceleaşi premise pentru rezolvarea unei probleme ce are de fapt o altă interpretare.

Rezultatul este una din consecinţele fireşti ale unui studiu interdisciplinar personal² mai amplu ce include rolul matematicii în exprimarea formalizată a realităţii.

S-a folosit o abordare teoretică ce lămureşte mai bine formalismul matematic implicat.

Soluţionarea problemei, căci nu este o demonstraţie a ipotezei, are un impact major asupra conceptelor matematice elementare cu care se operează în prezent, prin definirea lor mai precisă. Totodată arată că ipoteza Riemann nu are implicaţii în studiul numerelor prime, ci al domeniilor subeuclidiene. Deasemeni este important impactul asupra înţelegerii fizicii în general şi asupra fizicii cuantice în special.

Cuvinte cheie: ipoteza Riemann, locusurile subeuclidiene, numere prime, calcul

 

CUNOAȘTEREA ȘTIINȚIFICĂ, Volumul 3, Numărul 1, Martie 2024, pp. 91-114
ISSN 2821 – 8086, ISSN – L 2821 – 8086, DOI: 10.58679/CS24191
URL: https://www.cunoasterea.ro/ce-este-ipoteza-riemann-si-de-ce-nu-poate-fi-demonstrata/
© 2023 Constantin Pomparău. Responsabilitatea conținutului, interpretărilor și opiniilor exprimate revine exclusiv autorilor.

 

Ce este ipoteza Riemann și de ce nu poate fi demonstrată

Constantin Pomparău

intercodexomnes@gmail.com

 

Introducere

Ipoteza Riemann este definită de E. Bombieri în descrierea oficială a problemei, ca: „Zerourile netriviale ale rezultatelor funcţiei ζ(s) au partea reală egală cu 1/2” ¹. Pentru înţelegerea corectă a soluţiei este necesar mai întâi să rezolvăm problema ipotezei Riemann în sine, abia apoi să confirmăm sau nu corectitudinea acesteia. Pentru aceasta sunt necesare câteva definiri mai precise ale unor termeni utilizaţi în formalismul matematic.

Întrebarea importantă este: ce reprezintă de fapt expresia matematică prin care este exprimată funcţia zeta Riemann? Se va explica în ce fel îmbunătăţirea unor definiţii modifică interpretarea modului de înţelegere al funcţiei în discuţie.

Rezultatul raţionamentelor va arăta că abordările anterioare sunt nepotrivite. Totodată se arată că soluţia se înscrie nu numai în domeniul strict al matematicii, ci face parte dintr-un mod de gândire integrat cu toate celelalte domenii ştiinţifice.

Adăugarea unor concepte noi la raţionamentele comune, cum ar fi cel de domeniu virtual al realităţii, va putea fi utilizată la exprimarea sub formă de calcul matematic în domenii ce până acum păreau incompatibile cu matematica.

Cele ce urmează vor permite efectuarea modificărilor necesare în abordarea problemei și generalizările ulterioare ale acesteia, odată ce acestea sunt stabilite.

Condiţii prealabile

Este necesar să fie reţinute ca premise înainte de a aborda problema în sine. Aceste definiții oferă claritate asupra construcției liniei reale și a rolului numerelor în matematică. Ele stabilesc abordarea corectă a construirii sistemului matematic. Este necesar să acordăm o atenție deosebită termenilor folosiți, care adesea în formalismul matematic au semnificații ambigue sau neclare, definițiile lor nefiind foarte precise, corecte sau complete, aşa cum este şi în acest caz.

În continuare sunt oferite suficiente definiții succinte, special adaptate pentru a aborda punctual problema în discuţie.

Definiri

Realitatea – este o construcţie mentală abstrusă şi absolutizată alcătuită din două puncte de vedere opuse: al obiectului observat, numit primum basis, notat cu PB, şi cel al reprezentării acestuia în mintea noastră cu ajutorul organelor de simţ, numit primum mentis, notat cu PM. Acestea generează două referenţiale opuse, asamblate într-un cub imaginar în interiorul căruia se află realitatea observabilă.

Locus – termen specific formalismului matematic, utilizat mai ales în geometrie, dar nu numai. În alte situaţii, cum ar fi în fizică se foloseşte termenul loc.

Referenţiale  – notate în continuare cu Я, sunt construcţii geometrice alcătuite din câte trei ghidaje drepte erectile perpendiculare reciproc, cu aceeaşi origine, reprezentând fiecare mărimi asociate câte unui domeniu al existenţei: tangibil, virtual şi imaginar. Termenul „concret” le cuprinde pe celelalte. Dreptele erectile ale referenţialelor nu au valori negative, căci reprezintă mărimi, care în sine nu pot fi nule sau contrare altora de acelaşi fel. Ele nu trebuie confundate cu sistemele de coordonate carteziene, notate cu Ꝣ. Trebuie menţionat că PB poate fi înlocuit în mintea noastră cu imaginea memorată a obiectului din basis observat anterior.

Mărime – cantitate arbitrară ce poate fi asociată oricărui obiect din care e alcătuită existenţa, indiferent de domeniul în care se manifestă. Nu pot exista mărimi nule sau negative.

Rangul unei mărimi – denumire generică dată formelor numerice ale oricăror mărimi arbitrare exprimate ca puteri, de exemplu: a¹, a², a³, etc. Din perspectivă geometrică, ele pot fi asociate întinderilor de lungime, arie, volum. Corespondenţii rangurilor mărimilor nu pot fi comparaţi între ei, pentru că nu pot fi comparaţi 2 metri cu 2 metri pătraţi, sau cu 2 metri cubi. Ei pot fi totuşi folosiţi în funcţiile numerice, înlocuind algebric mărimea unitară cu numărul 1, care ridicat la orice putere este tot 1. Procesul se numeşte ergodizare şi înseamnă reprezentarea geometrică similară a două mărimi ce nu pot fi comparate, cum ar fi metrul şi metrul pătrat, ori metrul şi secunda, indiferent de rangul acestora.

Numere – coeficienţi mentali abstruşi ce ajută la ordonarea şi compararea mărimilor de acelaşi fel cu ajutorul unor modele raţionale predeterminate, numite abstractizări. Ele sunt formate din cifre de la 1 la 9 la care se adaugă simbolurile numerice (,) (.) şi (0), care nu sunt cifre, dar ajută la construirea numerelor. De aceea împărţirea unui număr la 0 este imposibilă. Numerele singure nu au sens, ele trebuie asociate măsurilor pentru a constitui valori. Sunt doar colecţii de date, ce au sens numai dacă sunt asociate cu un algoritm de gândire care să le atribuie semnificaţii, ce astfel constituie informaţii. Numerele nu pot fi „reale”, „imaginare”, „complexe”, „negative” sau de alt fel. Ordonarea și măsurarea obiectelor, compararea cantităților de obiecte cu care sunt asociate și compararea acestora cu o mărime arbitrară considerată unitate sunt singurele opțiuni. Ele nu pot fi considerate decât unitare, subunitare, supraunitare, rationabile, neraţionabile, transcendente, transcendentale, şi tranzitive. Numerele prime sunt cazuri particulare ale celor raţionabile.

Termenii raţionabil şi neraţionabil sunt mult mai potriviţi pentru ceea ce matematicienii numesc numere raţionale şi iraţionale. Termenii corecţi vin din latinescul ratio care înseamnă părţi egale ale unui întreg, de unde şi construcţia lor morfologică. Termenul „raţionabil” are două rădăcini semantice în latină: ratio  – raţie și habitus – obicei, fel de a fi, abilitate dobândită prin repetare, de unde construcția morfologică a termenului, adică „(are proprietatea, abilitatea de a fi) împărţit în raţii”. În engleză rădăcinile ar trebui să fie ratio (din latină) şi able (capabil), deci „rationable” ce poate fi interpretat în limbaj modern ca „este apt pentru a fi împărțit în rații unitare egale”. Termenii raţional şi iraţional, deşi provin tot din latină, au rădăcini semantice diferite, iar înţelesul lor este de a putea fi descrişi sau nu prin raţionament, care nu este echivalent cu a putea fi împărţiţi sau nu în raţii.

În ceea ce privește funcționalitatea, numerele sunt factori de multiplicare sau demultiplicare a cantităților unitare, de aceea expresia „descompunere în factori primi” este utilizată pentru numere. De asemenea, numerele nu fac parte din realitate.

Valoare – Rezultatul ataşării unui coeficient numeric la o măsură arbitrară. În consecință, nu pot exista „valori numerice” ori „măsuri valorice”.

Funcţii numerice – sunt cunoscute mai ales ca ecuații parametrice, care stabilesc variații ale factorilor numerici ai unei ecuații, unul faţă de altul, atunci când valoarea variabilei este fixată. Cele mai frecvente funcții numerice sunt cele care descriu relația dintre parametrii numerici ai mărimilor descrise de ecuațiile de gradul al doilea și al treilea, numite și discriminanţi. Într-un astfel de caz, sunt formule de calcul numeric fix prin care coeficienții numerici ai unei ecuații conduc la evaluări ale poziției locusului în care graficul unei funcții se intersectează cu abscisa unui sistem de coordonate, faţă de anumite domenii ale realității.

Un alt tip important de funcţie numerică este identitatea lui Euler, care de fapt are modelul formal e^πí = φ – Φ  şi nu e^πí+1=0, pentru că 0 nu e un număr, nici măcar o cifră. Astfel, termenul potrivit pentru formalizarea matematică a egalării expresiilor ecuaţiilor „cu 0” este „nul”, nu „zero” şi ar trebui să fie notat în aceste cazuri cu simbolul mult mai sugestiv ∅, adică zero barat.

Identitatea lui Euler aşa cum este prezentată aici, practic compară coeficienţi de transformare unitară între numerele transcendente 1 şi í, transcedentale π şi e, şi tranzitive φ şi Φ, ce sunt fiecare întregi în domeniile lor de manifestare a existenţei, în ordine: ideatic, virtual şi tangibil. Numeroase astfel de funcţii pot fi găsite în fizică, de exemplu raportul maselor electron/proton =1/1836, indiferent de măsurile folosite pentru aprecierea cantităţii masei.

Total – orice coeficient numeric care desemnează întreaga cantitate a obiectelor pentru care se poate stabili un criteriu arbitrar de apartenenţă. Se foloseşte în expresia „în total sunt n obiecte diferite”, şi poate fi asociat cu ideea de mulţime.

Întreg – Totalul obiectelor de acelaşi fel, stabilit pe baza unui criteriu comun de apartenenţă şi este notat în acest articol cu simbolul ⥜. Este folosit în expresii de genul „întregul lot de telefoane”. Pentru că întregul poate fi simbolizat geometric printr-un segment de dreaptă mărginit de două marcaje ideatice succesive numerotate, se foloseşte expresia „număr întreg”.

Marcaj – reper punctual pentru identificarea unică a unui loc.

Ghidaj – reper liniar drept sau curb, situat între două marcaje succesive.

Trebuie menționat că marcajele și ghidajele sunt repere, adică obiecte imaginare, nu au consistență, așa cum au punctul și linia.

Suprafață – termen specific fizicii, constând din puncte reale minime și indivizibile, unite într-un singur strat. Grosimea unui astfel de strat este exprimată în matematică ca dx și este baza calculului integral.

Arie – este un termen specific matematicii și desemnează o întindere imaginată, inconsistentă, al cărei locus poate fi descris de două sau trei coordonate carteziene, ca marcaje pentru fiecare centru al punctelor unei suprafeţe.

Spaţiu – termen specific fizicii, care provine din prescurtarea expresiei din limba latină sine patio, care textual înseamnă „fără limite”, „fără graniţe” ori „neîmprejmuit”.

Istoric

Această problemă vine din antichitate, de când Euclid a definit o teoremă privind singura factorizare posibilă a numerelor prime. Potrivit acestuia, orice număr întreg pozitiv este produsul unui singur set de numere prime, ce se vor nota în această expunere cu simbolul ƥ –din alfabetul latin extins. În 1737, Leonard Euler a exprimat prima teoremă a lui Euclid despre infinit, prin relaţia:

Ec. (1)

În mod clasic, ipoteza Riemann vizează distribuţia numerelor prime, care nu urmează un tipar regulat în rândul celorlalte numere.

El a observat că frecvenţa numerelor prime este foarte apropiată de rezultatele furnizate de o funcţie numerică de argument complex, denumită funcţia zeta Riemann.

Ec. (2)

Pentru a folosi notaţiile consacrate, s este un argument complex de forma s = σ + it, unde σ = Re(s) este partea reală a lui s și t = Im(s) este partea imaginară a lui s.

Pe de altă parte, în lucrarea sa „Despre numerele prime mai mici decât un număr dat”, Riemann a remarcat despre propria sa ipoteză că „Fără îndoială, ar fi de dorit să avem o dovadă riguroasă a acestei propuneri; cu toate acestea, am lăsat această cercetare deoparte deocamdată după câteva încercări rapide nereușite, pentru că pare a fi inutil pentru obiectivul imediat al studiului meu.”¹

Și avea dreptate, pentru că practic, distribuția numerelor prime are o cauză naturală care nu ar putea fi descrisă de relațiile algebrice ca o parte deterministă a efectului generat de cauze.

Matematicienii contemporani, cum ar fi Enrico Bombieri, în descrierea problemei oficiale a ipotezei Riemann, consideră că „eşecul ipotezei Riemann ar crea ravagii în distribuţia numerelor prime”, mai precis în relaţiile deterministe ale distribuţiei acestora, proprietatea unui număr de a fi prim, părând a fi o calitate utilă în mod natural, dar încă nelămurită, a setului de cauze.

Se va vedea că deşi ipoteza se demonstrează a fi parţial adevărată, problema numerelor prime nu are legătură cu funcţia ζ(s) a lui Riemann, iar ravagiile intuite de Bombieri sunt extinse asupra întregului sistem matematic şi al fizicii, aşa cum sunt înţelese azi.

Practic, este vorba de ceea ce matematicienii numesc „şiruri” convergente ori divergente, a căror analiză şi abordare trebuie să fie diferite faţă de cea a unei funcţii în adevăratul sens al cuvântului, acestea din urmă având un număr limitat de termeni. Ele sunt legi de compoziţie între mărimile din domenii diferite ale realităţii care pot fi transformate reciproc, care sunt mai întâi ergodizate, apoi ordonate cu ajutorul numerelor. Legile de compoziţie reiterate succesiv prin incrementarea coeficienţilor numerici ai uneia din mărimi numită variabilă, au ca rezultate valori ale mărimilor în alt domeniu, diferit de cel pe care s-a definit variabila. Corespondenţa dintre cele două valori poate fi reprezentată pe planul pe care sunt reprezentate sub formă de drepte perpendiculare cele două domenii de definire ale mărimilor ce fac obiectul legii de compoziţie, printr-o înşiruire de marcaje ce reprezintă vizual variaţii ale rezultatelor funcţiei. Graficul nu poate determina legea de compoziţie, pentru că teoretic există un număr nelimitat de legi care să aibă ca rezultat acelaşi grafic.

Şirurile nelimitate nu sunt polinoame, căci nu pot exista polinoame cu un număr nelimitat de termeni, deci ar trebui găsită o singură expresie care să corespundă unor legi de compoziţie diferite de la un termen la altul al şirului.

Aici intervin funcţiile numerice unde nu e vorba de o lege de compoziţie ce dă rezultate diferite dar precise pentru fiecare iteraţie a unei variabile, ci de o formulă fixă, unde toţi termenii sunt variabile numerice ce descriu un singur rezultat al unei legi de compoziţie: punctul real aflat într-un şir de altele similare.

Problema fundamentală este clar de altă natură, pentru că în fapt, operaţiile sunt efectuate asupra tuturor mărimilor de acelaşi fel ale unui şir, care cu cât sunt mai multe, conduc la un rezultat foarte apropiat de o anumită valoare, numită limită, diferită ca înţeles de limita funcţiilor.

În esenţă este vorba despre totalitatea unor numere, care de fapt nu au întindere (nici suma, nici numerele) ele fiind numai nişte coeficienţi mentali abstruşi, care constituie valori doar dacă sunt asignaţi mărimilor de orice fel, numai împreună putând constitui şiruri de valori.

Practic se face o sumă a tuturor rezultatelor termenilor unui şir, ce reprezintă pentru fiecare număr atribuit argumentului x, un reper aflat pe un ghidaj, practic o relaţie între conţinutul valorilor lui x cu valori în x pe acelaşi ghidaj, un soi de exprimare a lui x prin el însuşi, indiferent care ar fi acesta. Trebuie găsită astfel formalizarea legii de compoziţie ce îl determină pe x ca mărime reală în funcţie de componentele sale imaginare, virtuale şi tangibile.

Ideea de bază este că de fapt, funcţia descrisă de Riemann nu este o funcţie algebrică, ci una numerică, între parametrii interni ai unei mărimi, indiferent de întinderea şi natura acesteia. Practic, nu este vorba de o sumă ca rezultat aritmetic, ci de un total ca rezultat strict numeric.

Figura 1 – Planul complex clasic şi reprezentarea graficului funcţiei ζ(s) pe acesta

Se poate presupune că Riemann a dorit o soluţie algebrică la problema numerelor prime, iar matematicienii ce i-au urmat au încercat să o rezolve cu ajutorul instrumentelor geometrice folosite pentru funcţiile algebrice.

Astfel ei au imaginat un plan care pe abscisă să aibă reprezentate „numerele reale”, iar pe ordonată cele „imaginare”.

În mod practic, trebuie făcută o descriere a problemei, arătându-se la locul potrivit şi inadvertenţele între abordarea clasică şi cea implicată de definirile precizate anterior.

Primul neajuns e legat de reprezentarea geometrică a unei funcţii de argument complex, căci unitatea imaginară í=  nu se găseşte pe ghidajul creat, numit în mod destul de relaxat axă reală, doar pentru motivul că acolo s-ar afla toate numerele numite la fel de nejustificat, reale. Matematicienii au venit atunci cu ideea de a crea în dreptul marcajului notat cu 0 de pe ghidajul unde sunt aliniate marcajele numerelelor deja notate, un alt ghidaj perpendicular pe cel dintâi, numit „axă imaginară”.

Pe acesta au fost marcate locusurile unde se află numerele imaginare de forma , 2 , 3 …, notate cu 1í, 2í, 3í, etc. Apare astfel şi următorul neajuns al acestei abordări, în sensul că mărimile distanţelor între marcajele de pe axa imaginară sunt egale ca întindere cu cele de pe ghidajul unde sunt ordonate celelalte numere ce ordonează marcajele. Dar unitatea imaginară nu are o întindere a propriei mărimi, deci ordonarea marcajelor după aceleaşi criterii cu cele de pe abscisă nu are până acum o justificare prea clară. A fost creat astfel un sistem de coordonate cartezian, ce constituie structura după care se pot identifica marcaje pe o arie plană, ce proiectează pe abscisă numerele reale şi pe ordonată pe cele imaginare.

Singurul avantaj al acestei abordări ar fi că se pot nota destul de simplu pe planul astfel creat, numerele „complexe”, de genul 4+3í.

Din perspectiva ipotezei Riemann, funcţia ζ(s) este bine definită pe toată partea din dreapta a ghidajului ce trece prin dreptul valorii reale 1 (cu linie neagră punctată în Figura 1).

Acolo termenilor funcţiei nu li se pot atribui valori, deci acolo funcţia este nedefinită. Pe tot domeniul din dreapta ghidajului a cărui parte reală este 1, şirul termenilor funcţiei ζ(s) converge către o limită oarecare, care nu este neapărat un „număr real”, chiar dacă „numerele imaginare” ale argumentului complex s sunt „negative”.

Singura condiţie este ca partea reală trebuie să fie strict mai mare decât 1. Aceste funcţii de argument complex se numesc funcţii olomorfe. Una din proprietăţile acestor funcţii ar fi că domeniul lor de definiţie poate fi extins şi în stânga ghidajului din dreptul marcajului notat cu 1 de pe „axa reală”, prin ceea ce se numeşte „continuaţie analitică”.

Riemann a explicat procesul de continuaţie analitică şi în stânga domeniului de definiţie, exceptând valoarea 1.

Această linie de demarcaţie este numită de matematicieni în mod intuitiv „pol” sau „singularitate”, fără a fi foarte clar de ce.

Cea mai evidentă şi simplă explicaţie este că „polul” este rezultatul, graficul funcţiei, o funcţie neputând fi definită prin rezultatul ei.

Se observă că pentru anumite numere ce reprezintă partea reală a argumentului s, rezultatul numeric al funcţiei ζ(s) este nul, adică ∅. Acestea sunt toate numerele pare negative, iar explicaţia conform ideilor de până acum este simplă. De principiu, se rezolvă cu ajutorul ecuaţiei continuaţiei analitice, cu modelul formal:

Ec.  3

pentru care dacă substituim s cu -2k, obţinem

Ec.  4

şi pentru că toţi termenii sunt finiţi şi sin(π∙k)=0, indiferent de numărul întreg atribuit lui k rezultă ζ(-2k)=0. Acestea se numesc zerouri triviale. Dar în acest caz 2k nu este un „număr complex”.

Ce se întâmplă însă cu celelalte zerouri ale funcţiei, numite netriviale şi unde se află ele?

Aceste zerouri se presupune că se află pe ceea ce matematicienii numesc bandă critică, aflată între ghidajele cu partea reală a argumentului s > 0 şi s < 1.

Mai mult decât atât, toate aceste zerouri s-ar afla pe ghidajul drept a cărui parte reală a argumentului s este 1/2, notat cu linie continuă în Figura 1.

Cu ajutorul tehnicii de calcul moderne s-a stabilit conform regulilor actuale, că există miliarde de marcaje situate pe acest ghidaj. Se pune problema dacă toate celelalte se află pe această linie sau nu.

Riemann a crezut că acest comportament al funcţiei ζ(s) şi în mod specific comportamentul locaţiilor zerourilor netriviale, are legătură cu distribuţia numerelor prime. Astfel, utilizând funcţia ζ(s), a găsit expresia următoare:

Ec.  5

Aceasta ne spune câte numere prime sunt într-un anumit interval de la 1 până la n, oricare ar fi acest n şi pe care nu e discutată aici din motive temeinice.

Potrivit Clay Mathematics Institute, ipoteza afirmă că toate soluţiile netriviale ale ecuaţiei ζ(s) = 0 urmează o anumită linie dreaptă verticală, aflată pe un plan unde pe abscisă sunt notate numerele reale, iar pe ordonată cele imaginare.

Lucrul ce nu a fost luat în considerare până acum este faptul că „banda critică” se află pe „planul complex” între ghidajele 0 şi 1, ceea ce reprezintă de fapt distanţa minimă între două marcaje, mărimea minimă, adică dx din calculul integral, în interiorul căreia nu se mai pot face măsurători.

Dar funcţia ζ(s) se poate numi funcţie numerică pentru că practic toţi termenii acesteia sunt coeficienţi numerici, funcţia fiind valabilă pentru oricare dintre valorile unui „x” situate pe abscisa unui grafic.

Atunci, dacă σ este un număr, produsul í∙t este o valoare, considerând í măsura şi t coeficientul numeric al acesteia. Aceasta înseamnă că funcţia nu mai poate fi numerică, implicând mărimi.

De aici apar şi problemele legate de încadrarea funcţiei în categoriile algebrică ori numerică, dar cum í este imaginar se poate deduce că poate fi înlocuit cu orice număr, deci funcţia este practic numerică.

Soluţie

Revenind la problemă, de fapt, toate explicațiile de până acum sunt notate geometric pe suprafața unei foi de hârtie. Ghidurile reprezentate pe ea sunt virtuale, adică folosesc materialul fizic al hârtiei ca suport, dar sunt o idee.

Deci toate reprezentările geometrice, ca urme distincte pe orice tip de suport omogen, având o parte fizică și o parte ideatică sunt virtuale, noțiune care trebuie integrată în sistemul matematic, ca parte a realității.

Deoarece este vorba despre numere, pe o foaie de hârtie trebuie mai întâi notată o serie finită de numere, inclusiv simbolul numeric 0, dar seria poate continua la nesfârșit. Numerele nu spun nimic despre ceea ce reprezintă și pot fi asociate cu orice fel de obiect.

Cea mai comună convenție este de a le asocia cu marcaje, si pentru ca ele să nu ocupe locuri aleatorii în spațiu, să fie aliniate și ordonate pe un ghid drept.

Trebuie subliniat iar că nici marcajele, nici ghidurile nu au consistență, fiind ideatice, la fel și numerele, chiar dacă pot fi reprezentate pe o suprafață plană ca obiecte virtuale.

În acest fel, ghidul exclusiv imaginar trebuie ridicat perpendicular pe suprafața foii de hârtie, unde nu mai este tangibil sau vizibil, așa cum ar trebui să fie.

În acest context, „numărul complex” 4 + 3í nu mai poate fi reprezentat, deoarece practic zona planului complex lipsește de pe foaia de hârtie.

Zona domeniului de aplicare a funcției ζ(s) a cărei proiecție este astfel confundată cu ghidajul virtual devine, de asemenea, inutilă. În același timp, banda critică, linia critică și cea din dreptul marcajului notat cu numărul 1 în care funcția ζ(s) nu este definită, nu mai au sens pentru motivul expus.

Figura 2 – Construcția axei reale prin suprapunerea ghidajelor imaginar, virtual și concret.

Deoarece partea negativă a ghidului imaginar nu mai poate fi continuată în materialul fóii de hârtie, acesta trebuie înlocuit cu un ghidaj care reprezintă cantități concrete, ale căror măsuri unitare pot fi apreciate din motive practice la grosimea filei suport. Marcajele acestui ghidaj sunt notate în Figura 2 A cu 1c, 2c, 3c … etc., unde c este prescurtarea de la de la „concret”, deşi ghidajul trebuie numit tangibil.

De asemenea, se poate remarca din Figura 2 că marcajele și ghidajele nu sunt prezente în direcțiile lor negative, din simplul motiv că mărimile nu pot fi zero sau negative, fiind o problemă de orientare a măsurării lor.

Aceasta oferă un ghidaj virtual pe suprafața foii de hârtie, unul inconsistent deasupra foii de hârtie reprezentând cantitățile imaginare, și unul în masa foii de hârtie, care reprezintă măsurile tangibile.

Deoarece cantitățile dintre marcajele de pe ghidaje sunt reprezentate cu o întindere egală prin procesul de ergodizare, ultimele două pot fi suprapuse peste ghidajul virtual, ca în figura 2 B obținând astfel axa reală ca în figura 2 C. Drept urmare, toate numerele, indiferent de cum le numim, pot fi reprezentate ca marcaje pe axa reală. În general, locusurile dintre marcajele de pe ghidaje sunt percepute ca nişte mărgele aliniate pe un fir, un fel de reprezentare sferică a punctului, linia reală fiind interpretată ca o succesiune de astfel de sfere.

Distanța dintre marcaje este echivalentă cu dx, fiind mărimea minimă, în interiorul căreia nu se pot face măsurători.

În Figura 3 A, a fost luată în considerare o serie de benzi critice cu lățimea dx și lungimea 2π. Prin întoarcerea capetelor superioare ale benzilor cu 180 de grade și îndoirea simultană a acestora la 360 de grade în direcția ghidului virtual, este obținută o serie de arii Möbius, ca în Figura 3 B. Fiecare dintre ele reprezintă matematic un punct real, care are o mărime, chiar dacă minimă, cu ajutorul căruia se pot construi linii, suprafețe și volume.

Dacă mai multe asfel de arii complexe sunt unite de-a lungul ghidajului virtual, se obține o succesiune de arii Möbius, fiecare corespunzând unei sfere cu care sunt aproximate punctele unei linii reale.

Figura 3 – Ilustrarea liniei reale în conformitate cu descrierea tradusă corect din textul original atribuit lui Euclid

Incluzând sferele într-un cilindru, obținem linia reală, similară cu o nuia lungă şi subţire, cu diametrul dx, axa reală fiind numită în latină medio ruda, sau mijlocul nuielei.

Trebuie menționat că axa reală nu este un ghidaj, ci suprapunerea ghidajelor imaginar, virtual și tangibil. Ghidajele nu sunt axe, deoarece nu separă două zone simetrice, așa cum sugerează şi morfologia cuvântului axă, ci indică doar direcții, indiferent de simetriile care pot lipsi sau nu din oricare dintre zonele care conțin ghidajul. Se observă, de asemenea, că ariile Möbius depășesc mărimea cilindrului „nuielei” doar în părțile superioare și inferioare, care sunt oricum virtuale și pot fi suprapuse.

Reprezentarea din figura 3B corespunde exact descrierii date liniei de Euclid, care este în original Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. (Grammí dé míkos aplatés), care înseamnă „înşiruire de micimi (mărimi minime) aplatizate”. Expresia este tradusă destul de curios în limbajul modern, ca „linia este o lungime fără lăţime” ³.

Dar numai cu această nouă interpretare a liniei reale, este posibilă construirea de suprafețe și volume, ceea ce nu se poate în cazul ghidajelor care nu au consistență.

Aceasta este abordarea euclidiană, practică, a premiselor problemei.

Problema matematică importantă este că, în realitate, „planul complex”, locusul în care se află rădăcinile unității, cum ar fi a + bí, nu este deloc un plan, ci o arie neorientabilă, mai precis o arie Möbius.

Astfel, coeficientul numeric b al „numărului complex” a + bí este un multiplu sau submultiplu de 2π, după cum explică formula lui Euler:

Ec.  6

unde x este o mărime măsurată în radiani.

Astfel, notațiile 1í, 2í, 3í etc., înseamnă de fapt câte rotații complete de câte două faze sunt efectuate de-a lungul benzii Möbius, astfel încât distanța dx să atingă o anumită poziție și orientare de-a lungul acesteia. Pentru ca distanța dx să ajungă la poziție și cu orientarea inițială a ghidului virtual, sunt necesare două rotații complete, acoperind astfel o distanță de 4π pe un cerc  trigonometric situat pe planul colii de hârtie. Pentru a completa fiecare unitate imaginară, este necesar să parcurgem 4 faze de jumătate de cerc de-a lungul perimetrului cercului trigonometric. Din punct de vedere al formalizării realității, al matematicii, problema se complică puțin, pentru că trebuie să intrăm în domeniul non-euclidian, mai precis sub-euclidian.

Matematicienii numesc deseori în mod neglijent aceste locusuri „spații non-euclidiene”, termenul „spațiu” fiind specific fizicii.

Conform prezentării de mai sus, este necesară transformarea benzii critice plane într-o arie Möbius (A_Ɱ) cu ecuația carteziană parametrică ( Ec.7 ), unde linia reală are pentru fiecare punct ghidajele sale interne: CO (concret, ori tangibil), VI (virtual) și IM (imaginar):

Ec.  7

Pe lângă notările obișnuite s, σ și t pe care le întâlnim atunci când exprimăm funcția ζ(s), există și alți parametri suplimentari care trebuie descriși:

M este mărimea asociată cu lățimea benzii critice, echivalentă cu 1 de la numărătorul fracţiei 1 / n^s, care reprezintă întinderea dx, adică un întreg ( ⥜ ).

r este evident jumătate din întinderea lui M, care este asociat cu r din formula lui Euler exprimată în coordonate polare: e^ix=r‧(cos(θ)+i sin(θ))

simbolul ֆ (litera armeană feh) a fost ales pentru că sugerează destul de bine termenul „spin”, folosit mai mult în fizică. Reprezintă numărul de semi-răsuciri ale unui capăt al ariei Möbius și are ca unitate 1/2 din măsura unei răsuciri complete, practic o fază.

Această arie este o reprezentare geometrică a unei funcții parametrice cu coeficienții numerici s (virtual), t (imaginar) şi r (tangibil, concret).

Figura 4 – Reprezentarea geometrică a unui punct real de mărime dx

În concluzie, reprezentarea geometrică a punctului real de dimensiune dx are un model formal ca în Figura 4, unde aria Möbius este virtuală.

Singura particularitate este că, în acest caz, coordonatele polare sunt utilizate într-un locus cu trei direcții de orientare sau 3D, unde 3D nu înseamnă tridimensional, ci tridirecțional, termenul dimensiune având un sens și o definiție diferită de cea folosită nepotrivit în prezent, formularea „tridimensional” fiind în sine o contradicție în termeni.

Figura 5 – linie matematică reală alcătuită din 11 puncte de mărime dx

Este evident pentru oricine că alăturarea mai multor astfel de puncte în aceeași direcție generează linia reală, ca în Figura 5.

Pe planul hârtiei, însă, pot fi observate numai proiecțiile plate ale curbelor succesive care alcătuiesc linia reală. Locusul complex conține o arie Möbius care este generată prin avansarea segmentului dx, cu punctul său mediu de-a lungul cercului virtual (adică cercul trigonometric) notat în Figura 4 și Figura 6 cu linie punctată albastră. În același timp, se rotește cu 180^o în jurul centrului său pentru fiecare rotație completă în jurul cercului trigonometric. Distanța dx este reprezentată de segmentul maro aflat între punctele ξ și ξ₁ din Figura 6.

Deci distanța dx nu poate fi percepută din perspectivă euclidiană de-a lungul drumului său pe suprafața Möbius, decât atunci când se suprapune cu ghidajul concret.

Cu toate acestea, segmentul dx beneficiază de proiecții pe ghidurile IM, VI și CO. Este bine să spunem că practic, cele două numere complexe conjugate reprezintă coeficienți numerici distincţi din diferite domenii ale realității ai aceleiaşi cantităţi reale, care au valori ergodizate imaginare reciproc, care nu pot fi comparate.

Figura 6 – Proiecții ale segmentului ξ-ξ1 = dx pe ghidurile erectile ale referențialului asociat

Distanţa dx are proiecții pe ghidurile imaginar, tangibil și virtual ale sistemului referențial care determină conținutul oricărui punct real. Locația și dimensiunea proiecțiilor pe aceste ghiduri ale oricărei distanțe dx (ξ-ξ₁) conținute în aria Möbius, depinde exclusiv de parametrul t al expresiei generale a Ec.7, indiferent de alți parametri, ca în Figura 6.

Stabilirea relațiilor dintre dx și aceste proiecții este dificilă, deoarece aria Möbius este un rotoid virtual care nu are un sistem de referință cartezian în acest scenariu și nu este relevant pentru problema matematică discutată. Folosind aceste observații, putem reveni la problema inițială.

Faptul că banda critică este în practică o bandă virtuală Möbius, face ca locusul în care funcția ζ(s) este „nedefinită” să fie de fapt marginea benzii Möbius, un locus complex virtual al curbei parametrice care caracterizează orice termen al funcției ζ(s).

Are sens ca funcția să nu fie definită în dreptul marcajului notat cu 1 pe axa reală, din perspectiva matematicii de până acum, deoarece acesta ar trebui să fie rezultatul funcției, nu domeniul său de definire.

Pe de altă parte, nu face parte din zona ariei care ar trebui să fie „planul complex”. Această margine este caracterizată de două marcaje opuse reprezentând două numere complexe conjugate ( ξ și ξ₁ ), în funcție de ecuația curbei Möbius (CⱮ1) descrisă în continuare:

Ec.  8

Între cele două marcaje opuse ξ și ξ₁, se poate trasa doar o singură distanță dreaptă, a cărei întindere este M = 2r, echivalentă cu dx.

Această distanță este descrisă matematic în Ec.9 folosind o ecuație parametrică foarte similară cu Ec.8, (CⱮ2), unde variabila este numărul r.

Ec.  9

Trebuie observat că indiferent de locația celor două marcaje pe curba Möbius, niciuna dintre distanțele dintre ele nu este paralelă cu oricare alta, o proprietate specifică locusurilor sub-euclidiene, acum eronat numite „ spații non-euclidiene”.

Aceasta reflectă situația discriminantului Δ=18abcd-4b³d+b²c²-4ac³-27a²d²<0 al ecuației de gradul al treilea formalizată prin funcția polinomială ƒ_(x)=ax³+bx²+cx¹+dx⁰, când ecuația are o rădăcină „reală” (de fapt concretă, tangibilă) și, așa cum spune orice manual, două rădăcini „nereale”, dar mai precis complet virtuale, adică ξ și ξ₁. Folosirea ubicuă în manuale a termenului „nereal”, înseamnă „care nu e nici concret (real) şi nici imaginar”, deci virtual.

Locusul unde se află distanţa ξ-ξ₁ pe curba Möbius (Ec.8), indică poziția în care se află banda Möbius a fiecărui dx faţă de linia reală, indiferent dacă aceasta este dreaptă sau nu. Acest fapt este motivul pentru care se poate stabili o curbă ideală ca medie a măsurătorilor care determină un grafic, mai precis stabilirea funcțiilor de aproximare, care nu trec prin toate marcajele măsurate concret, dar au o formă algebrică predefinită.

Revenind, condiția esențială stabilită în premisele ipotezei clasice este aceea că ζ(s) care aşa cum s-a arătat până aici este CⱮ1(s) descrisă în Ec.8 trebuie să fie nulă (∅). Deci curba Möbius, un ghid virtual curbat trebuie să treacă prin marcajul în care ghidurile ortogonale erectile concret, virtual și imaginar sunt nule, deci la intersecția ghidurilor interne ale referențialului, specifice fiecărui punct situat pe linia reală.

Acest lucru se poate întâmpla numai dacă parametrul σ din Ec. 8 este numărul 0,5 indiferent de numerele atribuite celorlalţi parametri, și nu 1/2, cum precizează prezentarea oficială a problemei pentru că acesta din urmă este o fracție, nu un număr, şi nici un raport, căci nu este asociat vreunei mărimi. În caz contrar, chiar dacă graficul funcției intersectează ghidul imaginar al referențialului, acesta nu trece prin originea sa. Q.E.D.

Pe de altă parte, datorită asimilării greșite a benzii critice cu o arie plană, linia critică unde ar trebui să fie toate soluțiile netriviale ale ecuației ζ(s) = 0 nu este o linie dreaptă verticală, așa cum susțin oficial matematicienii de la Clay Mathematics Institute, ci un ghid curbat, și anume marginea benzii Möbius. Locusul geometric pentru orice factor numeric atribuit argumentului s este un cerc trigonometric virtual și nu ghidul drept marcat cu o linie solidă pe banda critică din Figura 1, fiind independent de ceilalți factori numerici ai ecuației parametrice.

Prin urmare, așa cum s-a interpretat aici, ipoteza se dovedește a fi parțial adevărată în sensul că numeric σ trebuie să fie egal cu 0,5 = 1/2, dar incorectă, deoarece „toate zerourile netriviale” deși sunt pe un singur ghidaj, acesta nu este drept, ci descrie o curbă închisă, fiind diferit de cel asumat în prezentarea oficială a problemei.

În plus, fiecare presupus „zero netrivial” este un singur marcaj reprezentând originea referențialului, pe unde trece CⱮ1. Ideea este, de asemenea, în concordanță cu situația discriminantului ecuației de gradul al treilea Δ<0, care spune că ecuația are o singură rădăcină reală în acest caz.

Dar, fiind o curbă închisă, se poate trece de un număr nedeterminat de ori prin originea referențialului, de fiecare dată când se parcurge întreaga lungime.

Față de premisele inițiale ale problemei, cele de mai sus dovedesc că niciunul dintre  „zerourile netriviale” nu se află pe ghidul presupus în ipoteză, mai mult decât atât, este doar unul singur. Aceast lucru este echivalent cu opusul dovezii așteptate, prin contraexemplu, admis de Institutul de Matematică Clay ca demonstraţie a ipotezei.

Corolar

Fiecare din ecuaţiile parametrice Ec.8 și Ec.9 generează geometric câte un singur ghidaj asociat cu referențialul aceluiași punct real. Intersecția celor două ghidaje, dintre care primul este curbat (CⱮ1) și al doilea drept (CⱮ2 ), generează un marcaj pe aria Möbius.

Dacă pentru Ec. 8 alegem să defactorizăm parametrul numeric M care reprezintă distanţa minimă dx, echivalentă cu întregul (⥜), cu un factor numeric n, număr întreg, pentru orice n vom obține o succesiune de 4n curbe Möbius, fiecare mai mică decât cea anterioară. Dacă le adăugăm una lângă cealaltă, nu vom obține o sumă, ca în cazul mărimilor care generează suprafețe, în schimb va fi generată o secvență de ghidaje curbate, la fel de distanțate unul de altul. O astfel de generare ar putea fi numită reprezentarea geometrică a unei funcții secvențiale, notată aici cu Ꞩ.

Ideea face ca această funcție Ꞩ să aibă ca rezultat totalul numeric al unei serii de fracții echivalent formal cu suma 1/2 + 1/3 + 1/4 …, a cărei limită este numărul întreg. Acest număr întreg este mărimea minimă a unui punct real. Dacă generăm secvențe pentru CⱮ1 ca funcție Ꞩ  de argument M / n în cazul Ec.8 și t / nπ în cazul Ec.9, suprapunându-le obținem o grilă care poate fi numită sistem de coordonate vitual. Funcția secvenţială Ꞩ nu este o sumă a unei serii nelimitate de cantități, ci exprimă un sistem complex, sub-euclidian, de coordonate virtuale, care se referă la cantități în interiorul dx care teoretic pot fi împărțite după dorinţă de la două la un număr nelimitat de părți egale.

Figura 7 – Sistemele complex şi polar de coordonate, dependente de ֆ

De aceea, Riemann a putut găsi doar expresia de la Ec.5 pentru a determina relația dintre numerele prime și altele. Astfel, făcând substituțiile corespunzătoare, expresia matematică a funcției algebrice ζ(s) în Ec. 2, devine:

Eq.  10

Prin generarea graficului pentru funcția Ꞩ ( s, r, n ) putem deriva sistemul de coordonate polare, specific lui s, când spinul devine nul (ֆ=∅), ca în Figura 7.

Transformarea benzii critice într-o rotoidă implică totuși probleme ceva mai complicate decât transformările Möbius actuale și pune problema regândirii modului de a face operațiuni cu numere complexe.

Se poate observa că, pe măsură ce parametrul n iterează de-a lungul funcției secvențiale, sunt generate 4n perechi de CⱮ1 și CⱮ2, fiecare cu câte un locus de intersecție. Dacă marcajele de intersecție sunt notate în ordine pentru fiecare pereche, obținem două serii de marcaje, una corespunzătoare marcajelor din ce în ce mai imaginare ale ξ, și una corespunzătoare marcajelor din ce în ce mai concrete ale ξ₁, conform cu mărimea proiecţiilor lui dx pe dreptele erectile ale referenţialului, de la Figura 6.

Privind din partea de sus a planului virtual, aranjamentul lor este similar cu spiralele Fibonacci, existente în natură, ca în Figura 8.

Figura 8 – Spiralele Fibonacci pe grila sistemului complex de coordonate, unde n = 4

Cele două tipuri de spirale pot fi recunoscute cu ușurință în distribuția semințelor pe pălăria floarea-soarelui, distribuția ramurilor pe tulpinile plantelor, forma scoicilor la melcii de mare cum ar fi celebrul Nautilus, și chiar forma galaxiilor.

Prin urmare, soluția găsită este cât se poate de naturală, chiar dacă este în contradicție cu modelele matematice actuale.

Consecinţe

• Orice alt mod de demonstrație folosind concepția actuală despre matematică va fi sortit eșecului.
• Este necesară o nouă abordare a matematicii, care să o aducă în concordanţă cu realitatea din care face parte, în special teoria numerelor şi a mulţimilor.
• Sistemele de coordonate dreptunghiulare plane, carteziene sunt dedicate mărimilor, indiferent de caracteristicile acestora.
• Numerele complexe simple de tipul Z = a + bí ar trebui să fie reprezentate numai în sistemele de coordonate polare, întrucât sunt rădăcini ale ecuațiilor de gradul doi și reprezintă relații între două caracteristici incompatibile care descriu aceeași cantitate.
• Numerele complexe conjugate de tipul ξ și ξ₁, pentru care trebuie utilizat numele virtual, trebuie să fie reprezentate în sistemul de coordonate Möbius sau sub-Euclidian. Ele sunt rădăcini ale ecuației de gradul al treilea și reprezintă relații între trei caracteristici incompatibile care descriu numeric același punct real.
• Având în vedere construcția referențialului și proiecțiile distanței ξ-ξ₁ pe ghidajele erectile CO, IM și VI, notația numerelor complexe trebuie să utilizeze cel puțin trei coeficienți numerici, corespunzând r(tangibil, concret), s(virtual) și t(imaginar).
• Funcțiile numerice trebuie tratate diferit de funcțiile algebice, deoarece numerele nu pot fi utilizate pentru operații algebice sau aritmetice.
• Operațiile pot fi efectuate numai cu obiectele semnificate de acestea, deși expresiile matematice sunt adesea eliptice de domeniul de apartenenţă al termenilor legii de compoziţie.
• Din acest motiv, poate fi propus un nou sistem de notare a operațiunilor elementare cu numere, care din motive istorice și practice pot fi numite și operații scalare. Acestea ar trebui denumite: incrementare, decrementare, factorizare, defactorizare, secvențiere și desecvențiere.

Considerentul ar fi că operațiunile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire, împărţire (prin rații), ridicare la putere și radical, utilizate pentru valorile reale sunt diferite în mecanismul funcțional intern de operațiunile algebrice de însumare, produs, raportare (raționare), exponențiere și logaritmare utilizate pentru orice fel de valori ergodizate. Din acest motiv, numele lor sunt diferite. Multe dintre ele nici măcar nu au simboluri asociate. De aceea, se folosesc expresiile „extragerea radicalului din …” și „creştere de n ori . De asemenea, opusul însumării algebrice ar trebui să fie o reducere, dar nu există, deoarece este interpretată ca o adăugare a unei valori negative.

De asemenea, ar trebui să existe o clasă de operații elementare opuse reciproc, specifice lucrului cu întregi (⥜), care include și problema ipotezei Riemann, și anume operațiuni ergodice: unificare, partiționare, integrare, diferențiere, maximizare și minimizare. Desigur, operațiunile cu vectori sunt, de asemenea, diferite de cele menționate mai sus. Operațiunile logice au un domeniu complet diferit, dar se pretează şi ele unei îmbunătăȶri a organizării.

• Proiecțiile segmentului ξ-ξ₁ pe ghidurile drepte erectile ale referențialului indică măsura în care conținutul oricărui punct din spațiu are caracteristici imaginare, virtuale și concrete, și sunt importante în fizică.
• Ideea generală ajută la rezolvarea problemelor cuantice și care aruncă o nouă lumină asupra diferențelor dintre mecanica newtoniană, cuantică și subcuantică, și chiar mecanica cerească, deoarece mecanismul de transformare între dimensiune și întreg reprezentat de problemă este similar peste tot în natură.

Concluzii

Aceste consecințe duc la o perspectivă diferită a întregului sistem matematic, deoarece ele nu au fost luate în considerare până acum, matematicienii continuînd să folosească suprafața plană a sistemului cartezian de coordonate pentru reprezentarea geometrică a „numerelor complexe” deși se observă că abordarea nu dă roade. Totodată, apare problema dacă interpretările moderne ale textelor originale vechi utilizate ca referințe în teorie, sunt eronate sau greșit înțelese.

Problema distribuției numerelor prime ar trebui să aibă explicații în raționamentul diviziunii. Este cel mai probabil legat de evitarea superpoziției ciclurilor naturale și este destul de improbabil să fie rezolvat doar prin mijloace algebrice.

Referințe

1. Bombieri, E. Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis. RIEMANN HYPOTHESIS.
2. Pomparău, C. Inter Codex Omnes. (2023).
3. Euclides. Euclid’s elements of geometry: the Greek text of J.L. Heiberg (1883 – 1885): from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883-1885. (s.n, 2008).
4. Grandi, G. D. Guidonis Grandi … Quadratura circuli, et hyperbolae per infinitas hyperbolas, & parabolas gemetricè exhibita. Accessit & hyperbolę dimensio ope tractorię, & innumerarum parabolarum, hyperbolarumque rectificatio, et alia complura scitu dignissima de intensione, de spatiorum variorum mensura, calculi differentialis analysi, & c. .. (ex typographia Francisci Bindi, impress. archiepisc., 1703).